miércoles, 25 de enero de 2012

Fractales (I)

El término fractal fue propuesto en 1975 por B. Mandelbrot. Un fractal será un objeto cuya dimensión de Hausdorff–Besicovitch es mayor que su dimensión topológica. Leido así parece más complicado de lo que realmente es. Para aclararlo se suele recurrir a uno de los ejemplos clásicos del propio Mandelbrot: How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension1. Abreviando: ¿Cuánto mide la costa británica?

En lineas generales el trabajo describe el problema de medir el perímetro de una linea de costa. Si lo medimos con una "regla" de un kilómetro obtendremos un valor (aplicamos la regla de punto a punto de la costa, contamos el número de "pasos" y multiplicamos por el valor del "paso").

Britain-fractal-coastline-combined
By originals made by Avsa mixed by Acadac [GFDL (www.gnu.org/copyleft/fdl.html)
or CC-BY-SA-3.0 (www.creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/)], via Wikimedia Commons

Si empleamos una regla más pequeña obtendremos un valor mayor pues serán accesibles detalles o accidentes de la costa que antes no podíamos medir. Por lo tanto la medida a cada escala será:
En esta ecuación LR es la medida de longitud a la escala R, nR es el número de "pasos" a esa escala y RD es el valor de la escala elevado a la dimensión tipológica (para el caso del perímetro de la costa D=1). La cuestión es que en un objeto fractal nR crece más rápido de lo que disminuye R por lo que el resultado tiende a infinito. En un objeto no fractal, en este caso de dimensión 1, nR es inversamente proporcional al valor de R por lo que la medida tiende a un número finito a medida que R disminuye.
Great Britain Box
By Prokofiev (Own work) [CC-BY-SA-3.0 (www.creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0)
or GFDL (www.gnu.org/copyleft/fdl.html)], via Wikimedia Commons
Si tratásemos de medir el área utilizariamos un recubrimiento de cuadrados de lado R y el resultado sería el número de cuadrados para cubrir la superficie por el área de los mismos:

En esta ecuación AR es la medida del área a la escala R, nR es el número de "pasos" a esa escala y R2 es el valor de la escala elevado a la dimensión tipológica (para el caso del área de la costa D=2). En este caso nR crece más "lento" que R2 a medida que R disminuye por lo que el resultado tiende a 0. Nuevamente si el objeto fuera no fractal nR es inversamente proporcional a R2 y la medida tendería a un número finito al disminuir R.

Por definición la dimensión topológica es 1 pero su "medida" en ese espacio tiende a infinito. Si tratamos de medir su área (dimensión topológica 2) sería nula, por lo tanto se comporta como un objeto que tiene dimensión entre 1 y 2. La dimensión fractal sería el exponente de la proporcionalidad entre nR y R:

que puede calcularse como:


El objeto fractal por lo tanto nos irá desvelando más detalles a medida que nuestra medida se hace más fina, a medida que nos "acercamos". Pero no sólo eso. Un fractal además es "auto-similar" (self-similarity): sus partes tienen la misma forma/estructura/aspecto que el todo. Pensemos por un momento en algo tan poco sofisticado como una coliflor, si la miramos desde lejos puede tener el aspecto de una esfera deformada, a medida que nos acercamos veremos más y más detalles. Si nos fijamos y arrancamos una de sus ramas veremos que el aspecto general es igual que el de la coliflor completa, por ejemplo en la imagen vemos una variedad de col llamada Romanescu, vemos como cada una de las estructuras es una copia en miniatura de la estructura general, es un ejemplo de fractal en la naturaleza.

Continuará.


P.S. El tratamiento matemático no es seguramente riguroso ni correcto al 100% pero una aproximación más formal queda fuera del objetivo de la entrada

Notas:

1 Benoît Mandelbrot, 1967, How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension. Science, New Series, Vol. 156, No. 3775. (May 5, 1967), pp. 636-638. doi:10.1126/science.156.3775.636

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